Question

18．阅读理解：对于任意正实数a，b，$Q（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}≥0$，
∴$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则$a+b≥2\sqrt{p}$，
当且仅当a=b，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x=$\sqrt{3}$时，$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值4$\sqrt{3}$．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
（3）已知x＞0，则自变量x为何值时，函数y=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+25}$取到最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，当2x=$\frac{6}{x}$时，$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值，进而求出即可；
（2）首先利用S_{四边形ABCD}=S_△ACD +S_△ABC，再结合当$\frac{6}{x}$=$\frac{3}{2}$x时S_ABCD的面积最小，求出x的值，进而得出答案；
（3）首先设y′=$\frac{{x}^{2}-2x+25}{x}$=x-2+$\frac{25}{x}$，当x=$\frac{25}{x}$时y'_最小，进而得出x的值以及y的值．

解答 解：（1）当2x=$\frac{6}{x}$时，则x²=3，
解得x=±$\sqrt{3}$，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴$2x+\frac{6}{x}$ 有最小值是4$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$；
（2）设点P的坐标为（x，$\frac{6}{x}$），
∵PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
∴OC=x，OD=$\frac{6}{x}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×AC×OD=$\frac{1}{2}$（x+2）×$\frac{6}{x}$=$\frac{3（x+2）}{x}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×OB=$\frac{1}{2}$（x+2）×3=$\frac{3}{2}$（x+2），
S_{四边形ABCD}=S_△ACD +S_△ABC=$\frac{3（x+2）}{x}$+$\frac{3}{2}$（x+2）=$\frac{6}{x}$+$\frac{3x}{2}$+6，
当$\frac{6}{x}$=$\frac{3}{2}$x时S_ABCD的面积最小，解得x₁=2，x₂=-2（舍去），
∴当x=2时，S_{四边形ABCD}=3+3+6=12，
∴四边形ABCD面积的最小值为12，
∵OD=$\frac{6}{2}$=3=OB，OC=2=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）设y′=$\frac{{x}^{2}-2x+25}{x}$=x-2+$\frac{25}{x}$，
当x=$\frac{25}{x}$时y'_最小，
∴当x=5时，y'_最小=8，
∴当x=5时，y最大=$\frac{1}{8}$．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及四边形面积公式和函数最值求法等知识，利用已知得出当$\frac{3x}{2}$=$\frac{6}{x}$时S_ABCD的面积最小进而得出x的值是解题关键．