Question

认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．
问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为

 

（用含绝对值的式子表示）．
问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是

 

，②设|x-3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是

 

；当x的值取在

 

的范围时，|x|+|x-2|的最小值是

 

．
材料2：求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值．
分析：|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|
根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可．
问题（3）：利用材料2的方法求出|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|的最小值．

Answer 1

考点：绝对值,数轴

专题：

分析：（1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．

解答：解：（1）|x+2|+

.

x-1

.

；
（2）①-2、4，
②4；不小于0且不大于2，2；
（3）|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+（|x-2|+|x|）
要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|+|x1|的值最小，x取0到2之间（包括0、2）的任意一个数，显然当x取0到2之间（包括0、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=3+2+0+1=6   
方法二：当x取在0到2之间（包括0、2）时，|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|=-（x-3）-（x-2）+x+（x+1）
=-x+3-x+2+x+x+1=6．

点评：本题考查了绝对值，注意到线段两端点距离最小的点在线段上（端点除外）．