Question

10．已知在Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，过点D作DE⊥AB于点D，交∠ACB的角平分线于点E，连接AE，BE．证明：AE=EB，并且AE⊥EB．

Answer 1

分析 由点D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，得到DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，过点E作EM⊥AC于M，EN⊥BC与N，推出R_t△AEM≌R_t△BEN，得到∠AEM=∠BEN，由于四边形CMEN是矩形，得到∠MEN=90°，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵点D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
过点E作EM⊥AC于M，EN⊥BC与N，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴EM=EN，
在R_t△AEM与R_t△BEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EM=EN}\end{array}\right.$，
∴R_t△AEM≌R_t△BEN，
∴∠AEM=∠BEN，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CMEN是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．