Question

1．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B，C两点，B点的坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的表达式及抛物线y=ax²的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S_△COB；
（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得S_△AOD=S_△COB，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线AB的解析式为y=-x+2；然后把B（1，1）代入y=ax²得a=1，从而得到抛物线解析式；
（2）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$可得C点坐标；
（3）根据三角形面积公式，利用S_△COB=S_△COA-S_△AOB进行计算；
（4）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设D（t，t²）（t＞0），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2•t²=3，然后解出t的值即可得到D点坐标．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（2，0），B（1，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=-x+2；
把B（1，1）代入y=ax²得a=1，
所以抛物线解析式为y=x²；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以C（-2，4）；
（3）S_△COB=S_△COA-S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=3；
（4）设D（t，t²）（t＞0），
∵S_△AOD=S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$•2•t²=3，解得t=$\sqrt{3}$或t=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴D（$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了待定系数法求一次函数解析式．