Question

9．如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD，在线段AD上任取一点E（点E不与点A、D重合）
（1）猜想：∠BEC与∠ABE、∠ACE、∠BAC有什么数量关系？并证明你的猜想
（2）若点E在AD所在的直线上移动，且点E不与点A、D重合，请画图探究∠BEC与∠ABE、∠ACE、∠BAC之间的数量关系，写出关系式，并选择一个加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BED=∠ABE+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，再根据∠BAD+∠CAD=∠BAC证明；
（2）分点E在BC的下方时，利用四边形的内角和定理解答；点B在BC的上方时，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAD=∠ABE+∠AEB，∠CAD=∠ACE+∠AEC，再根据∠AEB+∠AEC=∠BEC解答．

解答 （1）∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠BAC；
证明：由三角形的外角性质得，∠BED=∠ABE+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC，
∴∠BEC=∠BED+∠CED=∠ABE+∠BAD+∠ACE+∠CAD=∠ABE+∠ACE+∠BAC，
即：∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠BAC；

（2）解：如图1，点E在BC的下方时，
由四边形的内角和定理得，∠BEC+∠ABE+∠ACE+∠BAC=360°；
如图2，点B在BC的上方时，
由三角形的内角和定理得，∠BAD=∠ABE+∠AEB，∠CAD=∠ACE+∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC=∠BEC，
∴∠BAC=∠ABE+∠ACE+∠BEC．

点评 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）分情况讨论，作出图形更形象直观．