Question

2．如图1，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置，连接BE，如图2．
（1）若线段BC=12cm，求线段BE的长度；
（2）在（1）的条件下，若线段AD=8cm，求四边形AEBD的面积；
（3）若折叠后得到的四边形AEBD的是平行四边形，试判断△ADC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）过E作EF⊥AD于F，求出EF，分别求出△BDE，△ADE的面积即可解决问题．
（3）△ADC为等腰直角三角形．只要证明CD=CA，即可解决问题．

解答 解：（1）由题意，得△AED≌△ACD，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=45°，
∴∠EDB=∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°，
∵AD为△ABC的中线，BC=12cm，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∴DE=CD=6cm，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$cm．

（2）过E作EF⊥AD于F，

∵∠ADE=45°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ED
∵AD=8，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EF=$\frac{1}{2}$×8×3$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$，
S_△BED=$\frac{1}{2}$•BD•ED=18
∴S_{四边形AEBD}=S_△AED+S_△BED=18+12$\sqrt{2}$（cm²）．  

（3）结论：△ADC为等腰直角三角形．
理由：若四边形AEBD是平行四边形，

∴AE∥BD，AE=BD，
∴AC=AE=BD=CD，
∵∠ADC=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠C=90°，
∴△ADC为等腰直角三角形．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．