Question

12．如图，在?ABCD中，AD=CD，AB=14．点E在CB的延长线上，点F在AB边上，连接DE、CF相交于点H，若∠CHD=∠A．BF=11，CF=20，则线段BE的长为$\frac{35}{11}$．

Answer 1

分析 如图DE交AB于G．设BG=x，BE=y．利用相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，构建方程组即可解决问题．

解答 解：如图DE交AB于G．设BG=x，BE=y．
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=BC=AD=14，
∵BG∥CD，
∴$\frac{BG}{CD}$=$\frac{EB}{EC}$，
∴$\frac{x}{14}$=$\frac{y}{y+14}$，
∴x=$\frac{14y}{y+14}$    ①，
∵∠DHC=∠A=∠ABE=∠FHG，∠FGH=∠BGE，
∴∠E=∠CFB，
∵∠ECH=∠FCB，
∴△ECH∽△FCB，
∴$\frac{CH}{CB}$=$\frac{EC}{CF}$，
∴$\frac{CH}{14}$=$\frac{y+14}{20}$，
∴CH=$\frac{7}{10}$（y+14），
∵FG∥CD，
∴$\frac{FG}{CD}$=$\frac{FH}{HC}$，
∴$\frac{11-x}{14}$=$\frac{20-\frac{7}{10}（y+14）}{\frac{7}{10}（y+14）}$    ②
把①代入②得到，y=$\frac{35}{11}$，
∴EB=$\frac{35}{11}$，
故答案为$\frac{35}{11}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．