如图.直线l1:y=-x+8与x轴.y轴分别交于点A和点B.直线l2:y=x与直线l1交于点C.D为线段BC上一点.点D从B出发.以每秒$\sqrt{2}$个单位长度沿BC方向运动.到C点时停止．过D作直线DP垂直于x轴.交线段OC.x轴于点E.P.以DE为斜边向左侧等腰Rt△DEF.点D的运动时间为t(秒)(1)直接写出答案:AB=11.3.∠OAB45度,(2)试求动点E的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，直线l₁：y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l₂：y=x与直线l₁交于点C，D为线段BC上一点，点D从B出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度沿BC方向运动，到C点时停止．过D作直线DP垂直于x轴，交线段OC、x轴于点E，P，以DE为斜边向左侧等腰Rt△DEF，点D的运动时间为t（秒）
（1）直接写出答案：AB=11.3（精确到0.1），∠OAB45度；
（2）试求动点E的坐标，并计算DE的长度（用含t的代数式表示）；
（3）当t=2时，求点F的坐标，并判断：当t=2时，在x轴上是否存在这样的点M，使得M、A、F为顶点的三角形为等腰三角形；若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）分别令y=-x+8中x=0、y=0求出与之对应的y、x值，由此即可得出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出AB的长度，再利用特殊角的正切值即可得出∠OAB的度数；
（2）根据OA、AB之间的关系结合点D的运动速度即可找出点D的横坐标，由此即可找出点D、E的坐标，再联立直线l₁、l₂的解析式成方程组，解方程组即可得出交点C的坐标，由此即可得出t的取值范围，再结合点D、E的坐标即可找出DE的长度；
（3）将t=2代入点D、E的坐标中，利用等腰直角三角形的性质找出点F的坐标，假设存在，设点M的坐标为（m，0），结合点A、F的坐标即可得出AM、AF、FM的长度，根据等腰三角形的性质分FM=FA、AF=AM和MA=MF三种情况考虑，由两边相等即可得出关于m的方程，解方程即可求出m的值，将其代入点M的坐标中即可得出结论．

解答解：（1）令y=-x+8中x=0，则y=8，
∴B（0，8）；
令y=-x+8中y=0，则x=8，
∴A（8，0）．
∴AB=$\sqrt{（0-8）^{2}+（8-0）^{2}}$=8$\sqrt{2}$≈11.3，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=1，
∴∠OAB=45°．
故答案为：11.3；45．
（2）∵$\frac{OA}{AB}=\frac{8}{8\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且点D从B出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度沿BC方向运动，
∴点D的横坐标为t，
∴D（t，8-t），E（t，t）．
联立直线l₁、l₂的解析式，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4），
∴0≤t≤4．
∴DE=8-t-t=8-2t（0≤t≤4）．
（3）当t=2时，D（2，6），E（2，2），DE=4，
∵△DEF为以DE为斜边向左侧等腰直角三角形，
∴F（2-$\frac{4}{2}$，$\frac{6+2}{2}$），即（0，4）．
假设存在，设点M的坐标为（m，0），
∵A（8，0），F（0，4），
∴AF=$\sqrt{（8-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，AM=|m-8|，FM=$\sqrt{（0-m）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+16}$．
△MAF为等腰三角形分三种情况（如图所示）：
①当FM=FA时，有$\sqrt{{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{5}$，
解得：m₁=-8，m₂=8（舍去），
此时点M的坐标为（-8，0）；
②当AF=AM时，有4$\sqrt{5}$=|m-8|，
解得：m₃=8+4$\sqrt{5}$，m₄=8-4$\sqrt{5}$，
此时点M的坐标为（8+4$\sqrt{5}$，0）或（8-4$\sqrt{5}$，0）；
③当MA=MF时，有|m-8|=$\sqrt{{m}^{2}+16}$，
解得：m₅=3，
此时点M的坐标为（3，0）．
综上所述：当t=2时，在x轴上存在这样的点M，使得M、A、F为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标为（-8，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）或（3，0）．

点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、特殊角的三角函数值、等腰直角三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标；（2）求出点D、E的坐标；（3）分FM=FA、AF=AM和MA=MF三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质找出方程是关键．