Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，直线AB与过点C的切线交于点E，连接BC，AC，过点O作OD∥BC与直线CE交于点D，连接DA．
（1）判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若BE=2BO，求sin∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC．由DE是⊙O的切线，得到OC⊥DE，根据OD∥BC，得到∠1=∠2，∠3=∠4．由OC=OB，得到∠2=∠4．推出∠1=∠3．通过三角形全等得到∠OCD=∠DAB=90°，于是得到结论；
（2）由DE是⊙O的切线，得到∠ECB=∠BAC，通过三角形相似得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{AE}$，求出$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得到结果sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 （1）证明：如图，连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=90°，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵OC=OB，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠3，
在△COD和△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠1=∠3}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线，
∴∠ECB=∠BAC，
∵∠E=∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{AE}$，
∵BE=2BO，
∴AE=2BE，
∵CE²=AE•BE=$\frac{1}{2}$AE²
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质．弦切角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质，连接OC是解题的关键．