Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点．
（1）若∠A=40°，求∠ABC的度数；
（2）求证：DG垂直平分EF．

Answer 1

分析 （1）如图，首先证明∠ABC=∠ACB，运用三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；首先证明△BDE≌△CFD，得到DE=DF，运用等腰三角形的性质证明DG⊥EF，即可解决问题．

解答 （1）解：如图，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（设为α）；
∵∠A=40°，
∴∠ABC=$\frac{180°-40°}{2}$=70°．
（2）证明：如图，连接DE、DF；
在△BDE与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CF}\\{∠B=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF；
∵G为EF的中点，
∴DG⊥EF，
∴DG垂直平分EF．

点评 该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答．