Question

10．如图，矩形DEFG内接于Rt△ABC，∠BAC=90°，AH是斜边上的高，BH=1，AH=2．
（1）求CH；
（2）设DG为x，试用含x的表达式表示DE；
（3）当DG为何值时，矩形DEFG面积y有最大值，最大值为多少．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出△ABH∽△CAH，进而求出$\frac{AH}{HC}$=$\frac{BH}{AH}$，即可得出答案；
（2）利用已知得出△ADG∽△ABC，进而得出$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，求出即可；
（3）利用矩形的面积得出y与x的关系式，进而得出二次函数最值．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAH=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠B+∠BAH=90°，
∴∠B=∠CAH，
又∵∠AHB=∠CAH，
∴△ABH∽△CAH，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{BH}{AH}$，
∴$\frac{2}{HC}$=$\frac{1}{2}$，
解得：HC=4；

（2）∵矩形DEFG内接于Rt△ABC，AH是斜边上的高，
∴DE=MH，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，
∴$\frac{2-DE}{2}$=$\frac{x}{5}$，
整理得：DE=$\frac{10-2x}{5}$；

（3）矩形DEFG面积y=x•$\frac{10-2x}{5}$=-$\frac{2}{5}$x²+2x=-$\frac{2}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{5}{2}$，
当DG为$\frac{5}{2}$时，矩形DEFG面积y有最大值，最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数最值求法以及相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．