题目内容
1．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．
分析 （1）由AE⊥AC，∠ACB=90°，可得AE∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得y关于x的函数解析式；
（2）由题意易得要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，然后由△ABC∽△EAC，求得答案；
（3）易得点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE-DE．然后分别从当点E在线段AD上时与当点E在线段AD延长线上时，去分析求解即可求得答案．
解答 解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，
∴AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AP}{BP}$，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵AE=x，AP=y，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{y}{10-y}$，
∴y=$\frac{10x}{x+6}$（x＞0）；
（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，
∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，
此时△ABC∽△EAC，则$\frac{AE}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴AE=$\frac{32}{3}$．
故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=$\frac{32}{3}$；
（3）∵点C必在⊙E外部，
∴此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE-DE．
设AE=x．
①当点E在线段AD上时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
∴x2+82=（14-x）2，
解得：x=$\frac{33}{7}$，
即⊙E的半径为$\frac{9}{7}$．
②当点E在线段AD延长线上时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
∴x2+82=（x+2）2，
解得：x=15，
即⊙E的半径为9．
∴⊙E的半径为9或$\frac{9}{7}$．
点评 此题属于圆的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（ ）| A． | AB⊥AC | B． | AB=AC | C． | AB=BC | D． | AC=BC |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 无法确定 |
如图，若在象棋盘上建立直角坐标系xOy，使“帥”位于点（-1，-2），“馬”位于点（2，-2），则“炮”位于点（ ）| A． | （-2，-1） | B． | （0，0） | C． | （1，-2） | D． | （-1，1） |