Question

16．如图所示，已知正△ABC中射线CM⊥AB于F，射线BA绕B顺时针旋转，旋转后的射线记作a，同时线段AB所在直线绕A顺时针旋转，旋转后的直线记作直线l，当直线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍时，直线l于射线CM相交于E，与射线a相交于D，且∠D=30°．
（1）求射线a的旋转角是多少度；
（2）求证：DE=AB；
（3）探索：线段DE，EF，DB的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，直线a，l的旋转角的关系建立方程4α=30°+α即可；
（2）由∠BCE=∠D=30°，判断出点B，C，D，E四点共圆，再判断出∠EBD=∠BDC，即可；
（3）判断出△BDE≌△ECA，再代换即可．

解答 解：（1）设直线l旋转角为α，
∴∠ABD=α
∵射线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍，
∴∠BAE=4α，
∵∠BAE=∠ABD+∠D，
∴4α=α+30°，
∴α=10°，
射线a的旋转角是10°；
（2）连接BE，

在正△ABC中，CF⊥AB，
∴∠BCE=30°，
∵∠D=30°，
∴∠BCE=∠D=30°，
∴点B，C，D，E四点共圆（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆）
∵CE⊥AB，AF=BF，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠BAE=40°，
∴∠EBD=50°，∠EBC=100°，
∴∠EDC=80°，
∴∠BDC=50°
∴∠EBD=∠BDC，
∴DE=BC，
∵BC=AB，
∴DE=AB，
（3）∵∠BAE=40°，
∴∠AEC=50°，
∵∠ABE=40°，∠ABD=10°，
∴∠EBD=∠AEC=50°
∵∠BDE=∠ACE=30°，DE=AC，
∴△BDE≌△ECA，
∴BD=EC=EF+FC=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定，三角形的内外角的关系，四点共圆的判定，解本题的关键是说明点B，C，D，E四点共圆，也是本题的难点．