Question

1．四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，求证：AE=EF；
（2）如图2，连接DF，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H，若AB=4，BE=$\frac{1}{3}$BC，求CH的长．

Answer 1

分析 （1）在AB上取BH=BE，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；
（2）过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N，于是得到CN=CM=FM=NF，通过△ABE≌△EFM，得到BE=FM，AB=EM=4，根据勾股定理得到DF=$\sqrt{D{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{CD}=\frac{FN}{CH}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：在AB上截取BH=BE，连接HE，如图1所示：
则△BHE是等腰直角三角形，AH=CE，
∴BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∴∠1+∠HEA=45°，
由（1）得：∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠1+∠CEF=45°，
∴∠1=∠2，
在△AHE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AH=CE}\\{∠AHE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N，
则四边形CMFN是正方形，
∴CN=CM=FM=NF，
由（1）知AE=EF，
在△ABE与△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EMF=90°}\\{∠BAE=∠FEM}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EFM，
∴BE=FM，AB=EM=4，
∵CH的长为BE=$\frac{1}{3}$BC，
∴BE=FM=$\frac{4}{3}$，
∴DN=CE=$\frac{8}{3}$，
∴DF=$\sqrt{D{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵CH⊥DF，
∴∠DNF=∠H=90°，
∵∠FDN=∠CDH，
∴△DNF∽△CDH，
∴$\frac{DF}{CD}=\frac{FN}{CH}$，
即$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}}{4}=\frac{\frac{4}{3}}{CH}$，
∴CH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，勾股定理，正确的周长辅助线是解题的关键．