Question

5．经过⊙O半径OB上一点D作直径AB的垂线交⊙O于点H，过直径HE的一端E作圆的切线交直线DH于G，延长AE交直线HD于点F．
（1）判断△EFG是什么三角形，说明理由；
（2）如果AE=EF，求△EFG三边的比．

Answer 1

分析 （1）由于EG是⊙O的切线，HE是⊙O的直径，得到∠HEG=90°，根据余角的性质得到∠A+∠F=90°，等量代换得到∠GEF=∠F，于是得到结论；
（2）设⊙O与HF交于M，连接DE，EM，根据直角三角形的性质得到DE=EF，DH=DM，于是得到HD=DM=MF，根据三角形的中位线的性质得到EM=2OD=$\frac{1}{2}$AD，设OD=x，则EM=2x，AD=4x，根据勾股定理得到HM=DF=$\sqrt{（6x）^{2}-（2x）^{2}}$=4$\sqrt{2}$x，DE=$\sqrt{D{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，推出△EFG∽△DEF，于是得到结论．

解答 解：（1）△EFG是等腰三角形，
理由：∵EG是⊙O的切线，HE是⊙O的直径，
∴∠HEG=90°，
∴∠AEO+∠GEF=90°，
∵HF⊥AB，
∴∠A+∠F=90°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∴∠GEF=∠F，
∴△EFG是等腰三角形；

（2）设⊙O与HF交于M，连接DE，EM，
∵HE是⊙O的直径，
∴EM⊥HF，
∵AE=EF，AD⊥HF，
∴DE=EF，DH=DM，
∴HD=DM=MF，
∵EM⊥HF，AD⊥HF，
∴OD∥EM，
∴EM=2OD=$\frac{1}{2}$AD，
设OD=x，则EM=2x，AD=4x，
∴AB=HE=6x，
∴HM=DF=$\sqrt{（6x）^{2}-（2x）^{2}}$=4$\sqrt{2}$x，
∴DE=$\sqrt{D{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴EF=DE=2$\sqrt{3}$x，
∵∠EDF=∠F=∠FEG，
∴△EFG∽△DEF，
∴△EFG三边的比为：$\sqrt{3}$：$\sqrt{3}$：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．