Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠BAC=∠CAD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E．
（1）试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=5，AC=4，求CE．

Answer 1

分析 （1）由于∠BAC=∠CAD，而∠ACB、∠E同为直角，可知：∠ECA=∠B，可知EC是⊙O的切线，由此得证．
（2）首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求得BC的值，再利用三角形相似对应边比值相等，即可得解．

解答 解：（1）直线CE与⊙O相切，如图，连接OC，
∵OA=OC，
∠OCA=∠OAC，
∵∠BAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AD，
∴∠OCE=90°，
∵OC是半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）∵∠OCE=∠CEA=90°，∠BAC=∠CAD，
∴△ACB∽△AEC，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{3}{CE}$=$\frac{5}{4}$，
∴CE=$\frac{12}{5}$．

点评 此题主要考查的是切线的性质，关键是根据弦切角定理以及解直角三角形的相关知识进行分析．