题目内容
7．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）用t的代数式表示：AE=2t；DF=2t；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
分析 （1）根据两动点的速度与时间表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出DF即可；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分两种情况讨论即可求解．
解答 解：∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2t，
故答案为：2t，2t；
（2）∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，?AEFD是菱形；
（3）分两种情况：
①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60-4t，
∴t=$\frac{15}{2}$
②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
∴60-4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=$\frac{15}{2}$s或12s时，△DEF是直角三角形．
点评 本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形的判定是解题的关键．
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