Question

15．如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若BC=6，BG=8，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接FD交EC于P，根据折叠的性质得到EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，根据直角三角形的性质得到AE=ED=EF，求出∠EAF=∠DEC，根据平行线的判定定理证明；
（2）证明△AFD∽△EDC，根据相似三角形的性质定理计算即可；
（3）根据勾股定理求出CG，根据矩形的性质求出AB，根据（2）的结论计算即可．

解答 （1）证明：连接FD交EC于P，
由折叠矩形ABCD可得，EF=ED，CF=CD，∠DEC=∠FEC，∠EFG=∠EFC=∠EDC=90°，
∵点E为AD的中点，
∴AE=ED=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠DEF=∠EAF+∠EFA=∠DEC+∠FEC，
∴∠EAF=∠DEC，
∴AF∥EC；
（2）∵EF=ED，CF=CD，
∴E，C两点都在线段DF的中垂线上，即EC⊥DF，
∴∠DPE=90°，
∵AF∥EC，
∴∠AFD=∠DPE=∠EDC=90°，
∵∠EAF=∠DEC，∠AFD=∠EDC，
∴△AFD∽△EDC，
∴$\frac{AF}{DE}=\frac{AD}{EC}$，即AF•EC=DE•AD，
∴AF•EC=2EF²；
（3）∵∠GAF+∠EAF=∠GFA+∠EFA=90°，∠EAF=∠EFA，
∴∠GAF=∠GFA，
∴AG=FG，
在Rt△BGC中，BC=6，BG=8，
CG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵AB=CD=CF，
∴8+AG=10-FG，
∴AG=FG=1，
∴CF=CD=9，
∵AD=BC=6，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴在Rt△DEC中，EC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵AF•EC=2EF²，
∴3$\sqrt{10}$×AF=2×3²，
解得，AF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、翻转变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、矩形的性质是解题的关键．