Question

4．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，-5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过点B，则k=-8或-32．

Answer 1

分析 设AB交y轴于点C，利用垂径定理可求得PC的长，则可求得B点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值．

解答 解：
设线段AB交y轴于点C，当点C在点P的上方时，连接PB，如图，
∵⊙P与x轴相切，且P（0，-5），
∴PB=PO=5，
∵AB=8，
∴BC=4，
在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴OC=OP-PC=5-3=2，
∴B点坐标为（4，-2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过点B，
∴k=4×（-2）=-8；
当点C在点P下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8，
∴B（4，-8），
∴k=4×（-8）=-32；
综上可知k的值为-8或-32，
故答案为：-8或-32．

点评 本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得PC的长是解题的关键，注意分两种情况．