Question

20．如图，点A（-2，5）在以（1，-4）为顶点的抛物线上，抛物线与x正半轴交于点B，点M（x，y）（其中-2＜x＜3）是抛物线上的动点，则△ABM面积的最大值为$\frac{125}{8}$．

Answer 1

分析 先利用顶点式求出抛物线解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，再解方程x²-2x-3=0得到B（3，0），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+3，作MN∥y轴交AB于点N，如图，设M（t，t²-2t-3）（-2＜x＜3），则N（t，-t+3），利用S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN可得到S_△ABM═-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+6，然后根据二次函数的性质求解．

解答 解：设抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
把A（-2，5）代入得a（-2-1）²-4=5，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（3，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-2，5），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
作MN∥y轴交AB于点N，如图，设M（t，t²-2t-3）（-2＜x＜3），则N（t，-t+3），
∴MN=-t+3-（t²-2t-3）=-t²+t+6
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN
=$\frac{1}{2}$•5•MN
=-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+6
=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{125}{8}$
∴当t=$\frac{1}{2}$时，△ABM面积有最大值，最大值为$\frac{125}{8}$．
故答案为$\frac{125}{8}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和三角形面积公式．