Question

9．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线l上，AB与AG在同一直线上．
（1）图1中，小明发现DG=BE，请你帮他说明理由．
（2）小明将正方形ABCD按如图2那样绕点A旋转一周，旋转到当点C恰好落在直线l上时，请你直接写出此时BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°，再利用SAS证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形对应边相等即可得出DG=BE；
（2）分两种情况：①C在EA的延长线上，连结BD交AC于O，求出OB、OE，然后在Rt△BOE中利用勾股定理可求出BE的长；②C在AE上，证明C与E重合，那么BE=BC=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，
∴AD=AB，AG=AE，∠DAG=∠BAE=90°．
在△DAG与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE；

（2）将正方形ABCD按如图2那样绕点A旋转一周，旋转到当点C恰好落在直线l上时，分两种情况：
①如果C在EA的延长线上时，
如备用图1，连结BD交AC于O，
∵正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，
∴BD=AC=$\sqrt{2}$AB=2，AC⊥BD，
∴OB=OA=$\frac{1}{2}$BD=1．
∵正方形AEFG边长为2，
∴OE=OA+AE=1+2=3．
在Rt△BOE中，∵∠BOE=90°，
∴BE=$\sqrt{O{B}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
②如果C在AE上时，
如备用图2，连结BD交AC于O，
∵正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=$\sqrt{2}$AB=2，
∵正方形AEFG边长为2，
∴AE=2，
∴C与E重合，
∴BE=BC=$\sqrt{2}$．
故所求BE的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，难度适中．利用分类讨论、数形结合是解题的关键．