Question

4．如图，二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），点C（0，2）．
（1）求抛物线的函数解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；
（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，
①当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；
②若E为BC的中点，DE的延长线交线段AB于点F，当△BEF为钝角三角形时，请直接写出点D的纵坐标y的范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点B坐标代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c得到a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线的解析式，然后把一般式配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）①先解方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0得B（4，0），设D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），根据三角形面积公式，利用S_{四边形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB得到四边形OCDB的面积=-t²+4t+4，然后根据二次函数的性质求解；
②先利用线段中点坐标公式得到E（2，1），然后分类：分别求出∠EFB=90°和∠BEF=90°时D点坐标，再求出直线AE与抛物线的交点，则可得到点D的纵坐标y的范围．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{3}{2}+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
因为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
所以抛物线的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
（2）①当x=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4，则B（4，0），
设D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
S_{四边形OCDB}=S_△OCD+S_△ODB=$\frac{1}{2}$•2•t+$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=-t²+4t+4=-（t-2）²+8，
所以当t=2时，四边形OCDB的面积最大，此时D点坐标为（2，3）；
②∵E为BC的中点，
∴E（2，1），
若DF⊥AB时，∠EFB=90°，此时D（2，3），当0＜x＜2时，∠EFB为钝角，此时点D的纵坐标y的范围为2＜y≤$\frac{25}{8}$，
若FD⊥BC，∠BEF=90°，BE=$\sqrt{（4-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，
∵∠EBF=∠OBC，
∴Rt△BEF∽Rt△BOC，
∴BF：BC=BE：BO，即BF：2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$：4，解得BF=$\frac{5}{2}$，
∴OF=OB-BF=$\frac{3}{2}$，
∴F（$\frac{3}{2}$，0），
易得直线此时EF的解析式为y=2x-3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}}\\{y=\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}}\\{y=-\sqrt{41}-4}\end{array}\right.$，则D（$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$，$\sqrt{41}$-4），
设直线AE的解析式为uy=kx+b，
把A（-1，0），E（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=\frac{13}{9}}\end{array}\right.$，
∴当$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$＜x≤$\frac{10}{3}$时，∠BEF为钝角，此时点D的纵坐标y的范围为$\frac{13}{9}$≤y＜$\sqrt{41}$-4，
综上所述，点D纵坐标y的取值范围为$\frac{13}{9}≤y≤\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会利用相似三角形的知识求线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．