Question

6．如图，抛物线y=ax²-2ax+c过坐标系原点及点B（4，4），交x轴的另一个点为A．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）抛物线上找出点C，使得S_△ABO=S_△CBO，求出点C的坐标；
（3）连结BO交对称轴于点D，以半径为$\frac{1}{2}$作⊙D，抛物线上一动点P，过P作圆的切线交圆于点Q，使得PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）利用平行直线系数的关系得出平行于直线BO的解析式进而利用解方程组得出符合题意的点的坐标；
（3）利用两点之间距离公式以及勾股定理进而求出PQ的最值，进而得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c过坐标系原点及点B（4，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a-8a+c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：$y=\frac{1}{2}{x^2}-x$，
对称轴x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{2}}$=1；

（2）当y=0，0=$\frac{1}{2}$x²-x，
解得：x₁=0，x₂=2，故A（2，0），
∵B（4，4），
∴直线BO的解析式为：y=x，
作BO的平行线y=x-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x}\end{array}\right.$，
解得：x₁=x₂=2，则y=0，
故C₁（2，0）
往上平移还可以得到另一直线：y=x+2，
组成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2-2\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+2\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
可得C₂（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$），C₃（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$），
综上所述：点C的坐标为：C₁（2，0），C₂（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$），C₃（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）；

（3）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²+1，
∴可得D（1，1），
设P（x，y），由相切得：DQ⊥PQ，则PQ²=PD²-DQ²，
故$P{Q^2}={（{x-1}）^2}+{（{y-1}）^2}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}{x^2}{（{x-2}）^2}+\frac{7}{4}$，
故x=0，2时PQ最小，
故点P有2个，PQ的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数最值以及二元二次方程组的解法、勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．