Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B、D．且AO：BC=3：2．
（1）求点D坐标；
（2）将△AOD沿着OD折叠，设顶点A的对称点为A′，试判断点A′是否恰好落在直线BD上，为什么？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先根据AO：BC=3：2，BC=2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC∥AO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上可求出k的值，由AC∥x轴可设点D（t，3）代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；
（2）过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′，根据AC∥x轴可知∠A′ED=∠A′FO=90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA′∽△A′FO，设A′（m，n），可得出

m

n

=

3-n

m-1

，再根据勾股定理可得出m²+n²=9，两式联立可得出m、n的值，故可得出A′的坐标，用待定系数法求出经过点D（1，3），点B（3，1）的直线函数关系式为y=-x+4，再把x=

9

5

代入即可得出结论．

解答：解：（1）∵AO：BC=3：2，BC=2，
∴OA=3，
∵点B、C的横坐标都是3，
∴BC∥AO，
∴B（3，1），
∵点B在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴1=

k

3

，解得k=3，
∵AC∥x轴，
∴设点D（t，3），
∴3t=3，解得t=1，
∴D（1，3）；

（2）结论：点A′不在此反比例函数的图象上．
理由：过点A′作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA′（如图所示），
∵AC∥x轴，
∴∠A′ED=∠A′FO=90°，
∵∠OA′D=90°，
∴∠A′DE=∠OA′F，
∴△DEA′∽△A′FO，
设A′（m，n），
∴

m

n

=

3-n

m-1

，
又∵在Rt△A′FO中，m²+n²=9，
∴m=

9

5

，n=

12

5

，即A′（

9

5

，

12

5

），
∵经过点D（1，3），点B（3，1）的直线函数关系式为y=-x+4，
∴当x=

9

5

时，y=-

9

5

+4=

11

5

≠

12

5

，
∴点A′不在直线BD上．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．