Question

已知下面四个图中AB∥CD，试探讨四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的数量关系．
（1）图（1）中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系是

 

．
（2）图（2）中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系是

 

．
（3）请你在图（3）和图（4）中任选一个，说出∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，并加以证明．（提示：可过P点作PE∥AB）

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过点P作PE∥AB，根据平行公理可得AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，然后根据∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；
（2）过点P作PE∥AB，根据平行公理可得AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，然根据∠APC=∠APE+∠CPE整理即可；
（3）图（3）过点P作PE∥AB，根据平行公理可得AB∥PE∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，然根据∠APC=∠CPE-∠APE整理即可．

解答：解：（1）如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB=∠APE，∠PCD=∠CPE，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（2）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=∠APE+∠CPE，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
故答案为：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（3）图（3）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=∠CPE-∠APE，
∴∠APC=∠PAB-∠PCD；
同理图（4）∠APC=∠PCD-∠PAB．

点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题的关键，此类题目难点在于过拐点作平行线．