Question

如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=

3

5

且OA=5，点D为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x．

（1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′．
①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；
②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，根据正弦的定义求出AH=3，根据垂径定理由AH⊥BC得CH=BH=

1

2

BC=

1

2

y，由于OD=x，则AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（

1

2

y）²=（5-x）²-3²，再整理即可得到y与x的函数关系；
（2）作A′E⊥OA于E，根据折叠的性质得A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理计算出OH=4；由于⊙A′与直线OA相切，根据切线的性质得A′E=5-x，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值；
（3）作A′G⊥OA于G，连结A′D，根据两圆相切的性质得A′D=x+5-x=5，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AG，利用相似比可计算出AG=

18

5

，A′G=

24

5

，则DG=AG-AD=x-

7

5

，然后在Rt△A′GD中，根据勾股定理得到（

24

5

）²+（x-

7

5

）²=5²，整理得x²-

14

5

x=0，然后解方程即可．

解答：解：（1）作AH⊥OM于H，如图1，
在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=

AH

OA

=

3

5

，
∴AH=3，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH=

1

2

BC=

1

2

y，
∵OD=x，
∴AD=5-x，
在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=

1

2

y，
∴（

1

2

y）²=（5-x）²-3²，
∴y=2

x2-10x+16

（0＜x＜2）；
（2）作A′E⊥OA于E，如图，
∵⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′，
∴A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，
在Rt△OAH中，OH=

OA2-AH2

=4，
∵⊙A′与直线OA相切，
∴A′E=5-x，
∵∠HAO=∠EAA′，
∴Rt△OAH∽Rt△A′AE，
∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x），
∴x=

1

5

；
（3）作A′G⊥OA于G，连结A′D，如图3，
∵⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，
∴A′D=x+5-x=5，
∵∠HAO=∠GAA′，
∴Rt△OAH∽Rt△A′AG，
∴

AH

AG

=

OH

A′G

=

OA

AA′

，即

3

AG

=

4

A′G

=

5

6

，
∴AG=

18

5

，A′G=

24

5

，
∴DG=AG-AD=

18

5

-（5-x）=x-

7

5

，
在Rt△A′GD中，∵A′G²+GD²=A′D²，
∴（

24

5

）²+（x-

7

5

）²=5²，
整理得x²-

14

5

x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

14

5

，
∴x的值为

14

5

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的性质和两圆相切的性质；会运用锐角三角函数、相似比和勾股定理进行几何计算．