Question

18．如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的边相等和角为60°得：BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）证明∠CAE=∠ACB，得AE∥BC．

解答 证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCA=∠DCE-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE∥BC，理由是：
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法：SAS、AAS、ASA、SSS，对于两边的位置关系：平行或垂直．