Question

已知关于x的二次函数y=mx²-（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）只需证明△=（m+2）²-4m×2≥0即可；
（2）利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．

解答：（1）证明：∵m≠0，
∴△=（m+2）²-4m×2
=m²+4m+4-8m
=（m-2）²．
∵（m-2）²≥0，
∴△≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：令y=0，则（x-1）（mx-2）=0，
所以 x-1=0或mx-2=0，
解得 x₁=1，x₂=

2

m

，
当m为正整数1或2时，x₂为整数，即抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，
所以 正整数m的值为1或2．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答本题的关键是根据根的判别式△≥0证明抛物线与x轴有两个交点．