Question

如图所示，要矩形纸片OABC放入直角坐标系xoy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC=

80

，

OC

OA

=

1

2

，
（1）求A、C两点的坐标；
（2）求AC所在直线的解析式；
（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．
（4）求EF所在的直线的函数解析式；
（5）若过一定点P的任意一条直线h总能把矩形OABC的面积平均分成两部分，求定点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设OC=a，则OA=2a，在直角△AOC中，利用勾股定理即可求得a的值，则A和C的坐标即可求得；
（2）根据（1），然后利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）重叠部分是四边形AEFC，利用勾股定理求得AE的长，然后利用平行四边形的面积公式即可求解；
（4）根据（3）即可求得E的坐标，直线EF必过AC的中点，利用待定系数法即可求解；
（5）直线h总能把矩形OABC的面积平均分成两部分，则P一定是对称中心，即AC的中点，据此即可直接求得．

解答：解：（1）∵

OC

OA

=

1

2

，
∴设OC=a，则OA=2a，
又∵AC=

80

，即a²+（2a）²=80，
解得：a=4，
则A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，4）；
（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

b=4 8k+b=0

，
解得：

b=4 k=- 1 2

，
则直线AC的解析式是：y=-

1

2

x+4；
（3）设AE=x，则OE=8-x，
在直角△OCE中，4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
则重叠部分的面积是：5×4=20；
（4）AC的中点的坐标是（4，2），
设直线EF的解析式是y=mx+n，
则

3m+n=0 4m+n=2

，
解得：

m=2 n=-6

，
则直线EF的解析式是y=2x-6；
（5）P是AC的中点，则坐标是（4，2）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及矩形的性质，折叠的性质，正确理解矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，是关键．