Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，AE=EC，∠A=∠DCA，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF；
（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=$\frac{1}{2}$BC，进而得到EF=$\frac{1}{2}$CB，即可证出DE=EF；
（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答 证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF-DE=BC-$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$CB，
∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠DEC=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DEC=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠DEC，
∴∠B=∠A+∠DGC．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．