Question

20．如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移$\sqrt{2}$个单位，则平移后直线的解析式为y=2x．

Answer 1

分析 设点A沿射线OC方向平移$\sqrt{2}$个单位后到达点M，点B沿射线OC方向平移$\sqrt{2}$个单位后到达点N，过点M作ME⊥y轴于点M，过点N作NF⊥x轴于点F，则△AEM和△BFN为等腰直角三角形，根据直线AB的解析式利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，根据等腰直角三角形的性质结合AM=BN=$\sqrt{2}$即可得出点M、N的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后直线的解析式．

解答 解：设点A沿射线OC方向平移$\sqrt{2}$个单位后到达点M，点B沿射线OC方向平移$\sqrt{2}$个单位后到达点N，过点M作ME⊥y轴于点M，过点N作NF⊥x轴于点F，如图所示．
∵直线OC的解析式为y=x，
∴∠COF=∠COA=45°．
∵AM∥OC、BN∥OC，
∴∠NBF=∠COF=45°，∠MAE=∠COA=45°，
∴△AEM和△BFN为等腰直角三角形，且AM=BN=$\sqrt{2}$，
∴BF=NF=AE=EM=1．
当x=0时，y=2x+1=1，
∴点A的坐标为（0，1）；
当y=2x+1=0时，x=-$\frac{1}{2}$，
∴点B的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0）．
∴点M的坐标为（1，2），点N的坐标为（$\frac{1}{2}$，1）．
设直线MN的解析式为y=kx+b，
将M（1，2）、N（$\frac{1}{2}$，1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{\frac{1}{2}k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的特征找出点A、B平移后的坐标是解题的关键．