Question

4．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE=2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF=AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，AD⊥BC，根据三线合一的知识，可得BC=2BD，又由BE=2BD，可得B是EC的中点，又由F是AC的中点，G是AE的中点，根据三角形中位线的性质，即可得BG∥AC，BF∥AE，即可判定：四边形AGBF是平行四边形．
（2）易证得四边形BGFC是平行四边形，由GF=AB，可判定△ABC是等边三角形，继而可得△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形．

解答 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BE=2BD，
∴BC=BE，
∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴BG∥AC，BF∥AE，
∴四边形AGBF是平行四边形．

（2）∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴GF∥BC，
∵BG∥AC，
∴四边形BGFC是平行四边形，
∴GF=BC，
∵GF=AB，AB=AC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC是等边三角形，
∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，
∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，
∴△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形，
综上可得：图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得B是EC的中点，根据三角形中位线的性质求解是关键．