Question

15．正方形ABCD中，∠GDH=45°，DI⊥GH并延长交BC于点J，GJ=5，GH=I0，求DJ长．

Answer 1

分析 延长GC至E，使CE=AH，连接DE．根据全等三角形的判定证明Rt△DCE≌Rt△DAH，△GDH≌△GDE，根据全等三角形的性质和等量关系，以及等腰三角形的性质即可得到DJ长．

解答 解：延长GC至E，使CE=AH，连接DE．
在Rt△DCE与Rt△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DCE=∠DAH=90°}\\{CE=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCE≌Rt△DAH（SAS），
∴DE=DH，∠CDE=∠ADH，∠CED=∠AHD，
即∠DEG=∠AHD．
∵∠GDH=45°，
∴∠ADH+∠CDG=∠CDE+∠CDG=∠GDE=45°．
∴∠GDH=∠GDE=45°，
在△GDH与△GDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{∠GDH=∠GDE}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△GDH≌△GDE（SAS），
∴GH=GE，∠DGE=∠DGH，∠DHG=∠DEG．
∴∠AHD=∠IHD，
∴DG、DH分别平分∠CDJ和∠ADJ．
∵DI⊥GH，GD⊥CD，HA⊥AD．
∴GC=GI，HI=AH，Al=CD=AD．
∵GE=GC+CE=GC+AH，
∴GH=GC+AH=GE=10．
∵∠ADH+∠CDH=∠CDE+∠CDH=∠EDH=90°，∴∠CED=∠90°-∠CDE，
即∠JED=90°-∠CDE，∠JDE=90°-∠HDJ=90°-ADH=90°-∠CDE．
∴∠JED=∠JDE，
∴DJ=JE=GE+GJ=15．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是证明Rt△DCE≌Rt△DAH，△GDH≌△GDE．