Question

14．△ABC中，已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，交BC的延长线于点E，联结AE．
（1）求证：△AEC∽△BEA；
（2）求证：ED²=EB•EC．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由AD是∠BAC的平分线，得到∠1=∠2，根据FE是AD的垂直平分线，得到EA=ED，根据等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，得到∠BAE=∠ACE，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）连接AE，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴EA=ED（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠EAD=∠EDA（等边对等角），
∵∠BAE=∠EAD+∠1，∠ACE=∠EDA+∠2，
∴∠BAE=∠ACE，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAE∽△ACE，

（2）∵△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE，
∴DE²=BE•CE．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质、线段的垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质，关键是证明△BAF∽△ACF．