Question

16．如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行于BC，设MN∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试说明：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线得出∠OFC=∠DCF，根据角平分线定义得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根据平行四边形判定得出四边形是平行四边形，求出∠FCE=90°，根据矩形判定推出即可．

解答 （1）证明：∵FC平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵MN∥BD，
∴∠OFC=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
同理OE=OC，
∴OE=OF．
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形，
证明：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACD+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴平行四边形AECF是矩形

点评 本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，关键是根据平行四边形判定解答．