Question

17．如图，在?ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由在?ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选B．

点评 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．