Question

【题目】在△ABC中，sin A＝sin B＝，AB＝12，M为AC的中点，BM的垂直平分线交AB于点N，交BM于点P，那么BN的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

PN垂直平分BM，作CD⊥AB于D，MH⊥AB于H，如图，由sin∠A=sin∠B得到∠A=∠B，则根据等腰三角形的性质得AD=BD=AB=6，在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin A＝＝，可设CD=4t，AC=5t，根据勾股定理得AD=3t，则3t=6，解得t=2，所以AC=10，AM=5，再在Rt△AMH中，利用sin A＝＝得到MH=4，于是有AH=3，HB=AB-AH=9，由于PN垂直平分BM，根据线段的垂直平分线的性质得NM=NB，设NB=x，则NM=x，HN=9-x，在Rt△MHN中，根据勾股定理有x2=42+（9-x）2，解得x=.

如图，过点C作CD⊥AB于点D，过点M作MH⊥AB于点H，

∵sin A＝sin B，

∴∠A＝∠B，

∴AD＝BD＝AB＝×12＝6，

在Rt△ACD中，sin A＝＝，

∴AC＝10，

∵M点为AC的中点，

∴AM＝5，

在Rt△AMH中，sin A＝＝，

∴MH＝4，

∴AH＝3，HB＝AB－AH＝9，

∵PN垂直平分BM，

∴NM＝NB，

设NB＝x，则NM＝x，HN＝9－x，

在Rt△MHN中，NM2＝MH2＋HN2，

∴x2＝42＋(9－x)2，解得x＝，即NB的长为．