题目内容
某企业共投资10万元生产A，B两种产品，该企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润；
（3）请你设计投资方案使该企业想要获得的利润不低于5万元．
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润；
（3）请你设计投资方案使该企业想要获得的利润不低于5万元．
考点：二次函数的应用
专题：代数综合题
分析：（1）利用待定系数法求正比例函数解析式，求二次函数解析式解答即可；
（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，然后写出利润表达式，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）令y=5，根据利润函数关系式求出此时的x的值，然后根据二次函数的性质解答即可．
（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，然后写出利润表达式，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）令y=5，根据利润函数关系式求出此时的x的值，然后根据二次函数的性质解答即可．
解答：解：（1）∵yA=kx，当投资5万元时，可获利润2万，
∴5k=2，
∴k=
，
所以，函数关系式为yA=
x，
∵yB=ax2+bx当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元，
∴
，
解得
，
所以，yB=-
x2+
x；
（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，
利用y=-
x2+
x+
（10-x）=-
x2+
x+4=-
（x2-6x+9）+
+4=-
（x-3）2+5.8，
即y=-
（x-3）2+5.8，
所以，当投资B产品3万元时，能获得的最大利润，
此时投资A产品7万元，B产品3万元，获得最大利润是5.8万元；
（3）y=5时，-
（x-3）2+5.8=5，
整理得（x-3）2=4，
所以x-3=2或x-3=-2，
所以，x1=5，x2=1，
∵a=-
＜0，
∴投资B产品1到5万元时，获得的利润不低于5万元．
∴5k=2，
∴k=
| 2 |
| 5 |
所以，函数关系式为yA=
| 2 |
| 5 |
∵yB=ax2+bx当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元，
∴
|
解得
|
所以，yB=-
| 1 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
（2）设投资B产品x万元，则投资A产品（10-x）万元，
利用y=-
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| 5 |
| 1 |
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即y=-
| 1 |
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所以，当投资B产品3万元时，能获得的最大利润，
此时投资A产品7万元，B产品3万元，获得最大利润是5.8万元；
（3）y=5时，-
| 1 |
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整理得（x-3）2=4，
所以x-3=2或x-3=-2，
所以，x1=5，x2=1，
∵a=-
| 1 |
| 5 |
∴投资B产品1到5万元时，获得的利润不低于5万元．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要利用了待定系数法求正比例函数与二次函数的解析式，二次函数的最值问题，以及利用二次函数的性质解不等式，综合题但难度不大．
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-
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| 1 |
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| 1 |
| x-2 |
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