Question

11．已知二次函数y=-x²+2x+m
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围．
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
（3）在第（2）问的条件下，动点M在直线AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），设点M到直线AB的距离为d，求d的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；
（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x=0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式，然后再求得抛物线的对称轴方程为x=1，最后将x=1代入直线AB的解析式即可求得点P的纵坐标，从而得到点P的坐标；
（3）连接MB、MA、OM，过点M作MD⊥AB，垂足为D，设动点M的坐标为（a，-a²+2a+3），由S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△OAB列出△ABM的面积与a的函数关系式，接下来依据配方法可求得△ABM的最大值，最后依据三角形的面积公式可求得DM的长，从而得到d的最大值．

解答 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=2²+4m＞0．
解得：m＞-1．
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=-9+6+m．
解得：m=3，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3．
∴抛物线的对称轴为x=1．
∵令x=0，得y=3，
∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b．
∵将点A（3，0），（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直线AB的解析式为：y=-x+3，
∵把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）．
（2）如图所示：连接MB、MA、OM，过点M作MD⊥AB，垂足为D．

设动点M的坐标为（a，-a²+2a+3）．
∵S_△ABM=S_△OAM+S_△OBM-S_△OAB=$\frac{1}{2}$×3a+$\frac{1}{2}$×3×（-a²+2a+3）-$\frac{1}{2}$×3×3=$-\frac{3}{2}$a²+$\frac{9}{2}$a=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△ABM的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$．
∵OB=0A=3，
∴AB=3$\sqrt{2}$．
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•DM，
∴$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$•DM=$\frac{27}{8}$．
解得：DM=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
∴d的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、配方法求二次函数的最值，列出△ABM的面积与点M的横坐标a之间的函数关系式是解题的关键．