Question

1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．
（1）求∠AMO；
（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．
①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；
②若AG=2，CM=3，求四边形CFEM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行同位角相等即可解决问题．
（2）①先证明四边形CFEM是平行四边形，再证明有一个角为90°即可．
②连接AE，只要证明OG=OM，即可得到EM=AG，即可解决问题．

解答 解：（1）∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵OM∥BC，
∴∠AMO=∠BCA=90°．
（2）①四边形CMEF为矩形，理由如下：
∵EF与⊙O相切于点E，
∴∠OEF=90°，
∵∠OMA=∠OMC=∠OEF=90°，
∴EF∥MC，
∵OM∥BC，
∴EM∥FC，
∴四边形CMEF为平行四边形，
∵∠OEF=90°，
∴四边形CMEF为矩形．
②解：连接AE，
∵O为AB的中点，OM∥BC
∴M为AC的中点，即有CM=AM，
∵四边形CMEF是矩形，
∴AM=CM=EF，
又∵AC∥EF，
∴AMFE为平行四边形，
∴FM∥AE，即GM∥AE，
∴∠OMG=∠OEA，∠OGM=∠OAE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE，
∴∠OMG=∠OGM，
∴OM=OG
∵OE=OM+ME=OA=OG+GA，
∴ME=GA=2，
∴矩形CMEF的面积为：CM×ME=3×2=6．

点评 本题考查圆的有关知识、等腰三角形的判定好性质、矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是平行四边形AEFM的发现，需要灵活应用这些知识，属于中考常考题型．