Question

10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，AB=AD．
（1）求证：AC=DE；
（2）若AC=4BC，CD=5，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由余角的性质得到∠B=∠DAE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BC=AE，根据勾股定理得到BC=1，CE=3，AC=DE=4，由三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，
∴∠B+∠BAC=∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠B=∠DAE，
在△ABC与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADE}\\{∠ACB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE，
∴AC=DE；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴BC=AE，
∵AC=4BC，
∴CE=3BC，
∵DE²+CE²=CD²，
即（4BC）²+（3BC）²=5²，
∴BC=1，CE=3，AC=DE=4，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ADE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×1×4+$\frac{1}{2}$×3×4=10．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．