Question

1．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，且CE与AD相交于点F，连结ED，若AB=$\sqrt{3}$，BC=3．
（1）求证：AF=FC；
（2）求EF的长；
（3）求ED的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可以证明∠DAC=∠ACE，然后根据等角对等边即可证得；
（2）设CF=x，则DF=3-x，CF=AF=x，在直角△CDF中根据勾股定理即可列方程求得CF的长，于是得到结论；
（3）过E作EG⊥AD于G，则EG∥CD，根据相似三角形的性质得到EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$，得到DG=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ACE，
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF；
（2）解：设CF=x，则CF=AF=x，DF=3-x，
在直角△CDF中，CF²=CD²+DF²，即x²=（$\sqrt{3}$）²+（3-x）²，
解得：x=2，
即CF=2，
∴EF=3-2=1；
（3）解：过E作EG⊥AD于G，
则EG∥CD，
∴△EFG∽△CFD，
∴$\frac{GE}{CD}=\frac{GF}{DF}=\frac{EF}{CF}$，
即$\frac{EG}{\sqrt{3}}$=$\frac{GF}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{3}{2}$，
∴ED=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查图形的折叠，同时考查了等腰三角形的判定方法，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．