Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2$\sqrt{2}$cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为2秒时，△BQP的面积为24cm²．

Answer 1

分析 由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm²，列出方程，解方程并结合t的范围取舍．

解答 解：如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，

则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC-BH=14-6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD=$\sqrt{D{H}^{2}+C{H}^{2}}$=8$\sqrt{2}$cm．
当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．
①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2$\sqrt{2}$t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2$\sqrt{2}$t×sin45°=2t．
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$（14-t）×2t=14t-t²．
当Q运动到D点时所需要的时间t=$\frac{CD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=4．
∴S=14t-t²（0＜t≤4），
当S=24时，14t-t²=24，
解得：t₁=2，t₂=12（舍）．
②如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，

则：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$（14-t）×8=56-4t．
当Q运动到A点时所需要的时间t=$\frac{CD+AD}{2\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+6}{2\sqrt{2}}$=4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S=56-4t（4＜t≤4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
当S=24时，56-4t=24，
解得：t=8＞4+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，舍去，
综上，当t=2时，S=24，
故答案为：2．

点评 本题考查了动点与图形面积问题，需要通过题目的条件，分类讨论是关键．