Question

3．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，求证：OE=OF．

Answer 1

分析 在CA上截取CG=CE，即可证明△CGO与△CEO全等，从而得到∠COG=∠COE，OE=OG；根据∠ABC=60°以及题目所给两条角平分线的条件，可算出∠AOC=120°，从而可得到∠AOF=∠AOG=∠COG=∠COE=60°，然后易证△AFO与△AGO全等，得到OG=OF，所以OF=OE．

解答 证明：在CA上截取CG=CE，如图，

在△CGO与△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CE}\\{∠OCG=∠OCE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△CGO≌△CEO（SAS），
∴∠GOC=∠EOC，OE=OG
∵∠ABC=60°，AE平分∠BAC，CF平分∠BCA，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOF=∠COE=∠COG=∠GOA=60°，
在△AFO与△AGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠GAO}\\{AO=AO}\\{∠FOA=∠GOA}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△AGO（ASA），
∴OG=OF，
∴OE=OF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和性质，难度中等．根据角平分线的对称性，在两边截取线段相等构造三角形全等是重要技巧，要熟练掌握．