Question

17．如图，在?ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，有下列结论：
①2DF=$\sqrt{3}$AB；②DE•CF=DF•AE；③∠DFE=∠CDB；④如果?ABCD的面积是8，则△DEF的面积是3，
其中正确结论的序号是①②③④．

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角相等可得∠C=∠A=60°，对边相等可得CD=AB，然后解直角三角形可得DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，再求出①错误；根据两角对应相等，两三角形相似求出△ADE和△CDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出②正确；再求出∠EDF=60°，然后根据两边对应成比例，夹角相等求出△ABD和△DFE相似，根据相似三角形对应角相等可得∠DFE=∠ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CDB=∠ABD，然后求出③正确；根据平行四边形的对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形求出△ABD的面积，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可得到△DEF的面积为3，从而判断出④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠C=∠A=60°，
∵DF⊥BC，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴$\sqrt{3}$CD=2DF，
∴$\sqrt{3}$AB=2DF，故①正确；
∵∠A=∠C=60°，
∠AED=∠CFD=90°，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AE}{CF}$，
∴DE•CF=DF•AE，故②正确；
∵∠A=∠C=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠ADE=∠CDF=90°-60°=30°，
∵∠A=60°，AB∥CD，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠EDF=120°-60°=60°，
∴∠A=∠EDF=60°，
∵$\frac{DE}{DF}=\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}=\frac{AD}{AB}$，
∴△ABD∽△DFE，
∴∠DFE=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠CDB=∠DFE，故③正确；
∵?ABCD的面积为8，
∴△ABD的面积为4，
设△DEF的面积为S，
则$\frac{S}{4}=（\frac{DE}{AD}）^{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，所以，S=3，
即△DEF的面积为3，故④正确．
综上所述，结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，难点在于③求出△ABD和△DFE相似，再根据相似三角形对应角相等求解．