Question

6．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．
（1）分别求出抛物线与直线的解析式；
（2）求线段PQ长度的最大值；
（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出直线解析式，先由面积求出点D坐标橫坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）根据点P，Q的坐标求出PQ的解析式，
（3）①以PD为平行四边形的边时和②以PD为平行四边形的对角线，由点M，N在抛物线上，求出其坐标，

解答 （1）解：设直线的解析式为：y=kx+b，
将点B（2，4），点（0，2）代入上式得：$\left\{\begin{array}{l}2k+b=4\\ b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=2\end{array}\right.$，
∴所求直线的解析式为：y=x+2．
当y=0时，x=-2，即点A的坐标为（-2，0），
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AD•|{y_B}|=\frac{1}{2}×[{x_D}-（-2）]×4=6$，
∴x_D=1，
∴点D的坐标（1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
将点B（2，4）代入上式得：a=1，
∴所求抛物线的解析式为：y=（x+2）（x-1），
即y=x²+x-2，
（2）设点P的横坐标为t，则点P为（t，t+2），点Q为（t，t²+t-2），
∴PQ=t+2-（t²+t-2）=-t²+4，
∵a=-1＜0，
∴PQ有最大值4；                                                
（3）由（2）知点P坐标为（0，2），
①以PD为平行四边形的边时，设点M坐标为（m，n）则点N为（m+1，n-2），
∵点M、N均在抛物线上，
∴n=m²+m-2，
n-2=（m+1）²+m+1-2，
解得  m=-2，n=0
∴M（-2，0），N（-1，-2），
②以PD为平行四边形的对角线时，设点M为（m，n）则点N为（1-m，2-n），
同（1）方法一样，得M（-1，-2）N（2，4），
综上所述存在M（-2，2），N（-1，-2）和M（-1，-2），N（2，4）满足题意．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数的极值，平行四边形的判定和性质，求函数解析式是解本题的关键．