Question

18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O，交斜边AC于点D，过点D作半圆O的切线DE，交BC于点E．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，若$\frac{FD}{DB}$=$\frac{1}{3}$，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到ED=EB，再根据等角的余角相等证明∠EDC=∠ECD，得到ED=EC由此即可证明．
（2））由CF∥AB，得$\frac{DF}{DB}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{3}$，设CD=a，AD=3a，由△ADB∽△BDC，得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{DC}$，求出BD，再求出tan∠BAD的值即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线，
∵ED、EB是⊙O的切线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠EBD+∠BCD=90°，∠EDC+∠EDB=90°，
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=EB，
∴点E是BC中点．
（2）∵CF∥AB，
∴$\frac{DF}{DB}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{3}$，设CD=a，AD=3a，
∵∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DAB=∠DBC，∵∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{DC}$，
∴BD²=DA•DC=3a²，
∵BD＞0，
∴BD=$\sqrt{3}$a，
∴tan∠BAD=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAD=30°即∠BAC=30°．

点评 本题考查切线的性质、平行线分线段成比例定理、三角函数定义等知识，解题的关键是灵活运用等角的余角相等证明角相等，学会设参数表示相应的线段解决问题，属于中考常考题型．