Question

8．已知△ABC中，AB=AC=6$\sqrt{2}$，BC=12．点P从点B出发沿线段BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．
（3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明．

Answer 1

分析 （1）过点P作PF平行与AQ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）得：△PBF为等腰三角形，由等腰三角形的性质得出BE=$\frac{1}{2}$BF，由（1）△PFD≌△QCD，得出CD=$\frac{1}{2}CF$，即可得出结果；
（3）由勾股定理的逆定理证出△ABC是等腰直角三角形，得出∠AEC=∠CEM=90°，AE=CE=BE，再证出∠EAD=∠ECM，由ASA△AED≌△CEM，得出DE=ME，即可得出结论．

解答 解：（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DPF=∠Q}&{\;}\\{PF=QC}&{\;}\\{∠PFD=∠QCD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，
又∵P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴CD=$\frac{1}{2}$CF=3；
（2）BE+CD=λ=6为定值，λ为常数．理由如下：
如图②，过点P作PF∥AC交BC于F，
由（1）得：△PBF为等腰三角形，
∵PE⊥BF
∴BE=$\frac{1}{2}$BF
由（1）△PFD≌△QCD，
∴CD=$\frac{1}{2}CF$，
∴$BE+CD=λ=\frac{1}{2}BF+\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}（{BF+CF}）=\frac{1}{2}BC=6$；
（3）BD=AM；理由如下：
∵△ABC中，AB=AC=6$\sqrt{2}$，BC=12，
∴AB²+AC²=BC²=144
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴$CE=BE=\frac{1}{2}BC$，
∴$AE=\frac{1}{2}BC$，∠AEC=∠CEM=90°，
∴AE=CE=BE，∠EAD+∠ADE=90°，
∵AH⊥CM，
∴∠ECM+∠CDH=90°，
∵∠ADE=∠CDH，
∴∠EAD=∠ECM，
在△AED和△CEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠ECM}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠AED=∠CEM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEM（ASA），
∴DE=ME，
∴BE+DE=AE+ME，
即：BD=AM．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．