Question

1．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③b²+8a＞4ac；④abc＞0，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 看图，当x=-2时，由函数值可得出结论①正确，由对称轴大于-1可知②正确，将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中得出a、b、c的数量关系，再根据对称轴大于-1得到不等式，将此不等式变形后知结论③正确，由a＜0，对称轴小于0可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，即可判定④正确．

解答 解：当x=-2时，函数值小于0，
即4a-2b+c＜0，故①正确；
 由-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，可知对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞-1，且a＜0，
∴2a＜b，即2a-b＜0，故②正确；
将点（-1，2）代入y=ax²+bx+c中，得a-b+c=2，即c=2-a+b，
由图象可知对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞-1得2a-b＜0，则（2a-b）²＞0，
即b²＞-4a²+4ab，
∴b²+8a＞8a-4a²+4ab=4a（2-a+b）=4ac，
故③正确；
由图象可知，抛物线开口向下，∴a＜0，对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＜0，∴b＜0，
抛物线交y的正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故④正确．
故选D．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．