Question

10．如图：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，FE⊥AB，垂足为ID、E．
（1）说明：△AFE∽△CBD；
（2）图中除△AFE外，与△CBD相似的还有哪些三角形？
（3）说明：BC²=BD•AB．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠A=∠BCD，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到结论；
（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论；
（3）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠ADC=90°，∠AEF=90°，
∴∠A+ACD=90°，
而∠BCD+ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
而∠AEF=∠BDC，
∴△AFE∽△CBD；

（2）∵∠A=∠BCD，∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，
∴△BDC∽△ACB∽△ACD，
∴除△AFE外，与△CBD相似的还有△ACB，△ADC；

（3）∵△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=BD•AB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．